응력 완화
점탄성 응답을 이해하는 데 사용되는 또 다른 중요한 시험은 응력 완화(stress relaxation)입니다. 이러한 응력 완화 시험은 시료의 길이를 급작스럽게 변화시키고, 그 변형률이 일정하게 유지되도록 시간의 함수로서의 응력을 부가하는 것으로 구성됩니다. Maxwell 요소가 순간적으로 변형될 때, 오직 용수철만 먼저 전단응력 Gγ_0로 응답하며 (변형률 속도가 무한대일 때, 대시포트에서의 저항도 무한대이다), 여기서 γ_0는 일정하게 가해지는 전단 변형률입니다 (또는 유하하게 인장 응력, Eε_0에서 ε_0는 일정하게 가해지는 인장 변형률이다). 늘어난 용수철은 수축하기 시작하지만, 이 수축은 대시포트에 의해서 저항을 받게 됩니다. 용수철이 더 회복할수록 회복력이 더 줄어들고, 이와 더불어 수축 속도도 감소하게 됩니다. 이러한 현상은, γ'=dγ/dt=0과, t=0에서의 초기 조건 τ=Gγ_0인 전단 응력의 완화를 나타내는 미분 방정식 해결을 통해, 응력이 일차 지수적으로 감소한다는 것을 알 수 있습니다.
(1) τ(t)=Gγ_0e^(-t/λ)
또는 완화 탄성률(relaxation modulus) G_r(t)=τ(t)/γ_0로 정리하면 다음과 같습니다.
(2) G_r(t)=τ(t)/γ_0=Ge^(-t/λ)
선형 재료의 완화 탄성률 G_r(t)는 가해진 변형률과 관계가 없기 때문에 응력 완화 응답을 나타내는 더욱 일반적인 방법입니다.
앞의 (1), (2) 식을 통해, 완화 시간 λ는 지수적 삼소에 대한 시간 상수, 다시말해 응력이 초깃값의 1/e 또는 37%로 줄어드는 데 필요한 시간이라는 것을 알 수 있습니다.
Voight-Kelvin 요소
용수철과 대시포트의 직렬 조합에 결점이 있다면, 그에 이어 시도해 볼 수 있는 것은 병렬 조합, Voight 또는 Voight-Kelvin 요소입니다. 여기서 용수철과 대시포트를 지지하는 크로스바는 평행하게 유지된다고 가정하므로 용수철과 대시포트에서의 인장 변형률은 항상 같습니다.
(3) γ=γ_(spring)=γ_(dashpot)
이때 요소가 지탱하는 응력은 용수철과 대시포트에서의 응력 값의 합입니다.
(4) τ=τ_(spring)+τ_(dashpot)
용수철과 대시포트의 변형을 나타내는 식들과 (3)과 (4)을 결합하면 Voight-Kelvin 요소에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있습니다.
(5) τ=ηγ'+Gγ
크리프 시험에서 불시에 응력이 가해지면 오직 대시포트만이 변형에 대한 초기 저항으로 작용하며, 따라서 변형률 대 시간 곡선에서의 초기 기울기는 τ_0/η이 됩니다. Voight-Kelvin 요소가 연신됨에 따라 용수철이 점점 더 큰 저항으로 작용해 크리프 속도는 감소하게 됩니다. 따라서 이 시스템은 용수철 단독으로 응력을 지탱하면서 평형에 도달하게 됩니다(변형률 속도는 0이며, 대시포트의 저항도 0입니다). 평형 상태의 변형률은 단순히 τ_0/G가 됩니다. 정량적으로 이 응답은 지수적으로 증가하게 됩니다.
(6) γ(t)=τ_0/G(1-e^(-t/λ))
또는 크리프 컴플라이언스(Creep compliance)로 나타내면 다음과 같습니다.
(7) J_c(t)=1/G(1-e^(-t/λ))
평형에 도달한 후 응력이 제거되면, 변형률은 다음과 같이 지수적으로 감소하게됩니다.
(8) γ(t)=τ_0/Ge(-t/λ)
Voight-Kelvin 요소는 응력이 작용하는 동안 변형이 계속해서 일어나는 것은 아니며, 영구 변형도 나타나지 않는다는 것에 유의해야 합니다. 따라서 이는 점탄성 고체를 표현하는 것이 아니고, 일부 가교 고분자의 크리프 응답과 부합한다는 것을 알 수 있습니다.
Voight-Kelvin 요소는 응력 완화를 표현하기에는 적당하지 않습니다. 순간적인 변형을 가하면 대시포트는 무한대의 저항에 직면할 것이고, 다라서 아주 비현실적인 무한대 응력이 필요하게 될 것입니다.
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